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miércoles, 1 de junio de 2011

4.1 Definicion de Serie

4.1.1Serie finita

xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de  \sum x_i y \sum y_i se verifica es (x_0+\cdots + x_n)(y_0+\dots+y_m). Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.


4.1.2Serie infinita

  • Primer ejemplo. Para alguna a,b\in\mathbb{R}, sea x_n = a^n/n!\, y y_n = b^n/n!\,. Entonces

C(x,y)(n) = \sum_{i=0}^n\frac{a^i}{i!}\frac{b^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{(a+b)^n}{n!}

por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente, \exp(a) = \sum x y \exp(b) = \sum y, se ha demostrado que \exp(a+b) = \sum C(x,y). Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series, se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo a,b\in\mathbb{R}.

  • Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo n\in\mathbb{N}. Entonces C(x,x)(n) = n + 1 para todo n\in\mathbb{N} por lo tanto el producto de Cauchy \sum C(x,x) = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots) y no es convergente.
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2 comentarios:

  2. No se le entiende muy bien no solo por la explicación sino por las letras que usan con imágenes en negro con fondo negro, chequeen eso

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